واریته های توریک و کاربردهای آن

زیرمجموعه هایی از فضای آفین $b{a}^m$ (و یا فضای تصویری $b{p}^{m}$)، که توسط $m$ یک جمله ای (به ترتیب $m+1$ یک جمله ای) غیر ثابت از حلقه ی $k[x_1,dots,x_n]$ (به ترتیب $k[x_0,dots,x_n]$) پارامتری می شوند. مجموعه های توریک و بستار آنها نیز واریته های توریک نامیده می شوند. همچنین ایده آل تعریف کننده ی این واریته ها در $k[x_1,dots,x_n]$ (به ترتیب $k[x_0,dots,x_n]$) یک ایده آل توریک نامیده می شود.در این پایان نامه نشان داده می شود به هر ایده آل توریک یک زیرگروه $b{z}^n$ نظیر می شود و بالعکس به هر زیرگروه $b{z}^n$ یک ایده آل توریک نظیر می شود. این تناظر مطالعه ی ساختارهای توریک را به غایت ساده می نماید. به خصوص نشان داده می شود مولدهای مشبکه ی متناظر به یک واریته ی توریک، مولد ایده آل تعریف کننده ی واریته هستند. سپس به کمک اشیاء ترکیبیاتی هم چون گراف ها و ابرگراف ها، جبرهای یک جمله ای وابسته به این اشیاء ترکیبیاتی و به دنبال آن واریته های توریک وابسته به آنها مورد مطالعه قرار می گیرند. به خصوص نشان می دهیم مولدهای ایده آل توریک حاصل از این اشیاء ترکیبیاتی توسط دوجمله ای ها تولید می شود. نشان داده می شود در حالت گراف، مولدهای ایده آل توریک متناظر به آن توسط تمام گشت های زوج روی گراف تولید می شوند. با الهام از این روش، سعی می شود ساختار مولدهای ایده آل توریک حاصل از ابرگراف ها تعیین شود. نشان داده می شود ساختارهای ترکیبیاتی گشت های ابرگراف های یک جلمه ای، به طور کامل نمی توانند این مولدها را تعیین کنند و برای این کار نیازمند شرایط اضافی تری هستند.در ادامه کاربرد واریته های توریک و ایده آل های توریک را در برنامه ریزی عدد صحیح مورد بررسی قرار می دهیم. نشان داده می شود مولدهای ایده آل های توریک نقش مهمی در تعیین جواب های بهینه ی یک مسأله ی برنامه ریزی صحیح ایفا می کنند.از طرف دیگر، چون پیش آمدهای مستقل در آمار و احتمال، یک ساختار یک جمله ای در حلقه ی چندجمله ای های القا می کنند، در فصل آخر این پایان نامه، ارتباط بین واریته های توریک و پیش آمدهای احتمالی مستقل مورد بررسی قرار می گیرند و مفید بودن آنها را در حوزه ی احتمال نشان می دهیم.